Matematica discreta Esempi

$e^{2 x}$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = e^{2 y}$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $e^{2 y} = x$ .

$e^{2 y} = x$

Passaggio 2.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{2 y}) = \ln (x)$

Passaggio 2.3

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Espandi $\ln (e^{2 y})$ spostando $2 y$ fuori dal logaritmo.

$2 y \ln (e) = \ln (x)$

Passaggio 2.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$2 y \cdot 1 = \ln (x)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 y = \ln (x)$

Passaggio 2.4

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = \ln (x)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = \ln (x)$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2}$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2}$

Passaggio 2.4.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{2}$

Passaggio 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2}$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2}$ è l'inverso di $f (x) = e^{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 4.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 4.2.2

Calcola $f^{- 1} (e^{2 x})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{2 x}) = \frac{\ln (e^{2 x})}{2}$

Passaggio 4.2.3

Espandi $\ln (e^{2 x})$ spostando $2 x$ fuori dal logaritmo.

$f^{- 1} (e^{2 x}) = \frac{2 x \ln (e)}{2}$

Passaggio 4.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (e^{2 x}) = \frac{2 x \ln (e)}{2}$

Passaggio 4.2.4.2

Dividi $x \ln (e)$ per $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x}) = x \ln (e)$

Passaggio 4.2.5

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x}) = x \cdot 1$

Passaggio 4.2.6

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x}) = x$

Passaggio 4.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 4.3.2

Calcola $f (\frac{\ln (x)}{2})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x)}{2})}$

Passaggio 4.3.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\ln (x)}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x)}{2})}$

Passaggio 4.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\ln (x)}{2}) = e^{\ln (x)}$

Passaggio 4.3.4

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\frac{\ln (x)}{2}) = x$

Passaggio 4.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2}$ è l'inverso di $f (x) = e^{2 x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2}$